Teória miery , teoretická aritmetika a teórie čísel:

1. Množinové systémy, a ich vlastnosti.

2. Okruhy a sigma-okruhy nad intervalmi.

3. Funkcie definované na množinových systémoch.

4. Aditívne funkcie definované nad okruhmi, miera.

5. Vonkajšia a indukovaná vonkajšia miera.

6. Merateľnosť v zmysle Caratheodory, rozšírenie miery.

7. Lebesquova miera. Lebesquevo merateľné množiny. Cantorova množina.

8. Prvočísla a ich rozdelenie.

9. Reálne čísla a ich Cantorove rozvoje.

10. Kritériá racionality.

11. Algebraické a transcendentné čísla

12. Diofantická aproximácia.

13. Asymptotická hustota a R-hustota.

14. Multiplikatívne aritmetické funkcie.

15. Dirichletov súčin.

Prevdepodobnosť a štatistika

1. Pravdepodobnosť – Pojem pravdepodobnosti, klasická, geometrická a axiomatická definícia pravdepodobnosti.

2. Podmienená pravdepodobnosť, nezávislosť náhodných udalostí.

3. Náhodná premenná distribučná funkcia a jej vlastnosti, charakteristická funkcia diskrétnej premennej, hustota pravdepodobnosti spojitej premennej. Definícia strednej hodnoty a rozptylu.

4. Číselné charakteristiky diskrétnej premennej – charakteristické, binomiálne, poissonovo a hypergeometrické rozdelenie diskrétnej náhodnej . Stredná hodnota a rozptyl spojitej premennej.

5. Číselné charakteristiky spojitej premennej – rovnomerné, exponenciálne, normálne, štandardné normálne rozdelenie, stredná hodnota a rozptyl.

6 Úvod do štatistiky, popisná štatistika, charakteristiky štatistických súborov.

7. Základný a výberový súbor. Súvislosť medzi teoretickými údajmi a údajmi získanými výberom.

8. Odhad parametrov. Bodový odhad, metódy odhadu a jeho vlastnosti.

9. Bodový odhad. Metóda maximálnej vierohodnosti odhadu a jeho uplatnenie.

10. Intervalový odhad, určenie intervalu spoľahlivosti.

11. Interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu a disperziu normálneho rozdelenia. Intervaly spoľahlivosti v počítačových systémoch.

12. Podstata testovania štatistických hypotéz, základné pojmy a zákonitosti.

13. Testovanie hypotéz o strednej hodnote a disperzii normálneho rozdelenia.

14. Testovanie normality základného súboru. Závislosť štatistických znakov.

15. Výpočet korelácie, koeficient korelácie.

16. Regresná priamka. Lineárna regresia v počítačových systémoch.

Didaktika matematiky

I. Teória vyučovania matematiky.

1. Vyučovanie viet a tvrdení – Dokazovanie, stratégie dokazovania v matematike, metódy dôkazov a ich prezentácia na konkrétnych príkladoch. Paramatematické dôkazy.

2. Psychológia vyučovania matematiky – Bruner, Skemp, Piaget a ich prístup k vyučovaniu matematiky.

3. Vyučovanie pojmov. Druhy definícií, požiadavky správnej definície, typy úloh pri zavedení pojmu – názorné predvedenie zavedenia konkrétneho pojmu stredoškolskej matematiky.

4. Význam dejín vyučovania matematiky, predviesť na konkrétnom príklade vzťah fylogenézy a ontogenézy pojmu.

5. Konštruktivizmus vo vyučovaní matematik. Základné fázy zavedenia pojmu (motivácia, separované modely, univerzálny model, objav pojmu, systematizácia a zaradenie pojmu do súboru vedomostí).

II. Hlavné tematické okruhy matematiky – didaktický prístup

A. Aritmetika a algebra

1. Číselné štruktúry v základoškolskej a stredoškolskej matematike.

Vývoj pojmu číslo (Obory množín N, Z, desatinné čísla, racionálne čísla, reálne čísla, komplexné čísla), operácie a relácie v daných okruhoch, didaktický prístup. Zásady rozširovania číselných množín.

2. Rovnice a riešenie rovníc, interpretácia riešení. Pojem rovnice a pojem riešenia rovnice. Ekvivalentné úpravy rovníc. Riešenie lineárnych rovníc. Sústavy lineárnych rovníc (homogénne a nehomogénne sústavy, ich riešiteľnosť a riešenie) metódy riešenia (Gaussova eliminačná metóda).

3. Riešenie rovníc a interpretácia riešení. Pojem rovnice a pojem riešenia rovnice. Ekvivalentné úpravy rovníc. Riešenie kvadratickej rovnice, vzťahy medzi riešením kvadratickej rovnice a jej koeficientmi (Vietove vzorce). Kvadratické nerovnice. Grafické riešenie nerovníc.

4. Nerovnice, metódy riešenia nerovníc, interpretácia riešenia. Pojem nerovnosti a jej riešenia. Lineárne nerovnice a systémy lineárny nerovníc, metódy ich riešenia, algebraická a geometrická interpretácia riešenia.

5. Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou, metódy riešenia.

B. Matematická analýza

1. Zobrazenia a funkcie reálnej premennej. Relácia, zobrazenia ako istý typ relácií. Funkcia reálnej premennej, definícia, definičný obor, obor hodnôt. Základné vlastnosti funkcií: monotónnosť, ohraničenosť, parita, periodicita, bijektívne, injektívne a surjektívne, inverzné funkcie. Graf funkcie.

2. Elemntárne funkcie. Konštantná, lineárna, kvadratická a mocninová funkcia, racionálna lomená funkcia, ich vlastnosti (definičný obor, obor hodnôt, monotónnosť, ohraničenosť, parita, periodicita – konkrétne príklady).

3. Injektívna, surjektívna a bijektívna funkcia, pojem inverznej funkcie. Exponenciálna a logaritmická funkcia.

4. Postupnosti a rady. Číselné postupnosti, postupnosť ako funkcia. Aritmetická postupnosť a jej vlastnosti. Geometrická postupnosť a jej vlastnosti. Geometrický rad. Konvergentný a divergentný rad, príklady. Nekonečný geometrický rad a jeho konvergencia.

5. Diferenciálny počet. Spojitosť, pojem limity a derivácie, ich vzťah, geometrická interpretácia derivácie funkcie v danom bode. Analýza priebehu funkcie. (Lokálne a globálne extrémy, inflexné body, konvexnosť a konkávnosť).

6. Integrál. Určitý integrál, Riemannov integrál a jeho geometrická interpretácia. Primitívna funkcia, neurčitý integrál. Primitívna funkcia elementárnych funkcií.

C. Geometria

1. Planimetria: geometria euklidovskej roviny. Základné pojmy, relácie: byť prvkom, usporiadanie a rovnobežnosť. Odvodené pojmy: polpriamka, úsečka, polrovina, uhol, trojuholník, konvexný n-uholník.

2. Kruh, kružnica, stredový a obvodový uhol, Thálesova veta a jej obrátenie.

3. Pravouhlý trojuholník, Pytagorova veta, Euklidove vety. Konštrukčné úlohy, didaktické zásady.

4. Stereometria. Vzájomná poloha základných geometrických útvarov: bod, priamka, rovina, rovnobežnosť, mimobežnosť, …

5. Zhodné a podobné zobrazenia v rovine. Stredová súmernosť, osová súmernosť, invariantné body a útvary týchto zobrazení. Zložené zobrazenia.

6. Zhodné a podobné zobrazenia v rovine – posunutie, otočenie, ich vlastnosti, invariantné body a útvary. Zložené zobrazenia.

7. Podobnosť, rovnoľahlosť, rovnoľahlosť dvoch kružníc.

8. Miera rovinných a priestorových útvarov a telies. Obvod a obsah rovinných útvarov, objem a povrch telies. Didaktický prístup pri zavedení pojmov.

9. Analytická geometria. Pravouhlá sústava súradníc, Vzdialenosť dvoch bodov, smerový vektor, normálový vektor, parametrické vyjadrenie rovnice v rovine a priestore, všeobecná rovnica priamky, kolmosť, uhol dvoch priamok, vzdialenosť bodu a priamky, rovnica roviny. Vzájomná poloha rôznych geometrických objektov.