Teórie čísel:

1) Aritmetické funkcie (τ(n), δ(n) a φ(n)). Základné vlastnosti a súvilsosti medzi nimi.

2) Multiplikatívne aritmetické funkcie (τ(n), δ(n) a φ(n) a Möbiova funkcia). Explicitný tvar aritmetických funkcií.

3) Asymptotické správanie aritmetických funkcií. (Uveďte hornú limitu a dolnú limitu funkcií τ(n), δ(n) a φ(n)).

4) Vlastnosti postupností φ(n)/n, δ(n)/n, a π(n)/n.

5) Odhady pre hodnoty aritmetických funkcií (τ(n), δ(n) a φ(n)).

6) Prvočísla: základné vlastnosti, kanonický rozklad prirodzených čísel. Dokážte, že prvočísel je nekonečne veľa.

7) Rozloženie prvočísel. Medzery medzi susednými prvočíslami.

8) Početnosť prvočísel. Definícia funkcie π(x). Dolný odhad na hodnotu π(x). Prvočíselná veta. Prevrátený rad prvočísel.

9) Fermatove prvočísla, Mersennove prvočísla, dokonalé čísla. Pepinov test, Lucas-Lehmerov test.

10) Racionálne a iracionálne čísla. Kritériá racionálnosti.

11) Iracionálnosť čísla odmocnina z dvoch. Kritérium racionálnosti druhej odmocniny prirodzeného čísla. Iracionálnosť čísla e.

12) Cantorove rozvoje reálnych čísel. g-adický tvar racionálnych čísel.

13) Reťazové zlomky. Odmocnina výrazov v tvare reťazových zlomkov.

14) Aproximácia odmocnín reťazovými zlomkami pomocou rekurentných vzťahov.

15) Pellova rovnica, základné riešenie, všetky riešenia, rekurentný vzťah na opis riešení.

Prevdepodobnosť a štatistika

1. Náhodná udalosť. Elementárna udalosť. Operácie s udalosťami.

2. Pravdepodobnosť, základné pojmy. Klasická, geometrická a axiomatická definícia pravdepodobnosti. Vlastnosti pravdepodobnosti.

3. Podmienená a úplná pravdepodobnosť. Bayesova veta.

4. Nezávislosť náhodných udalostí. Nezávislé pokusy.

5. Náhodná premenná. Stredná hodnota a disperzia.

6. Diskrétna náhodná premenná. Binomické, hypergeometrické, Poissonovo rozdelenie.

7. Spojitá náhodná premenná. Distribučná funkcia, funkcia hustoty a ich vlastnosti. Rovnomerné, exponenciálne a normálne rozdelenie.

8. Zákony veľkých čísel.

9. Popisná štatistika. Elementárne spracovanie štatistických údajov.

10. Číselné charakteristiky polohy a variability.

Didaktika matematiky štátna skúška

1) Poznávací proces, jeho etapy a deformácie. Vývoj dieťaťa a poznávací proces. Paralela fylogenézy a ontogenézy matematického myslenia.

2) Diagnostická analýza žiackych prác a možné stratégie učiteľovej práce, motivácia.

3) Organizácia vyučovacieho procesu, skúšanie, klasifikácia a stratégie overovania vedomostí.

4) Využitie histórie vo vyučovaní matematiky. Rozvíjanie divergentného myslenia žiakov na hodinách matematiky. Práca s talentmi.

5) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celkov: Vývoj pojmu číslo, zásady rozširovania číselného oboru. Prírodzené a celé čísla, zavedenie pojmu, modely. Operácie v obore celých čísel.

6) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celkov: Vývoj pojmu číslo, zásady rozširovania číselného oboru. Zlomky a racionálne čísla, zavedenie pojmu, modely. Operácie v obore racionálnych čísel, operácie so zlomkami. Irracionálne čísla

7) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Základy teórie čísel, Deliteľnosť, NSD, NSN, Číselné sústavy

8) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Riešenie rovníc a nerovníc a interpretácia riešení. Ekvivalentné úpravy rovníc.

9) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Riešenie sústav lineárnych rovníc. Typy algebraických rovníc a nerovníc (rovnice s absolútnou hodnotou, irracionálne rovnice, kvadratické rovnice).

10) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Relácie, zobrazenia ako istý typ relácií. Funkcia reálnej premennej, definícia, definičný obor, obor hodnôt. Základné vlastnosti funkcií: monotónnosť, ohraničenosť, parita, periodicita, bijektívne, injektívne a surjektívne, inverzné funkcie. Graf funkcie. Elementárne funkcie.

11) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: analýza infinitezimálneho myslenia. Pojem limity, spojitosť, a derivácie, ich vzťah, geometrická interpretácia derivácie funkcie v danom bode. Analýza priebehu funkcie. Základy integrálneho počtu.

12) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Planimetria. Základné pojmy, relácie: incidencia, usporiadanie a rovnobežnosť. Odvodené pojmy: polpriamka, úsečka, polrovina, uhol, trojuholník, konvexný n-uholník. Triedenie rovinných útvarov. Euklidové vety a Pytagorová veta. Obvod a a obsah rovinných útvarov.

13) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Geometrické miesta bodov: kružnica, os úsečky, rovnobežky, os uhla, stredový a obvodový uhol, Tálesova veta. Planimetria. Konštrukcie. Goniometria trojuholníka. Zhodnosť a podobnosť.

14) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Stereometria. Znázorňovanie do roviny, rovnobežné premietanie. Rezy telies. Povrch a objem telies.

15) Didaktický rozbor konkrétnych tematických celku: Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika na základných a stredných školách. Základné pojmy a metódy.

Študent musí získať študijným plánom predpísaný počet kreditov z povinných a povinne

voliteľných predmetov.

maďarský jazyk, slovenský jazyk

Obsah štátnej skúšky 2. stupňa študijného programu učiteľstvo matematiky zodpovedá nosným témam jadra poznatkov magisterského študijného programu. Témy tvoria štandardný rámec vzdelávania tohto smeru – sú tu zastúpené vedecké disciplíny, ktoré neboli v náplni študijného programu 1. stupňa: Pravdepodobnosťa základy štatistiky, Teória čísel.

Odborno-didaktický obsah majú témy zamerané na teóriu vyučovania matematiky so zreteľom na odlišnosti v prístupe k vyučovaniu matematiky na základných a stredných školách.

Rozsah teoretických vedomostí absolventa:

ovláda súčasné teoretické metódy kognitívnej socializácie a vzdelávania človeka;

pozná základný obsah, metodológiu a epistemológiu disciplín svojej predmetovej špecializácie;

pozná teoretické i praktické súvislosti odbornej didaktiky v príslušnej špecializácii, najmä s ohľadom na projektovanie výučby v skupine;

pozná a ovláda spôsoby využívania informačných a komunikačných technológií vo vzdelávaní.

Rozsah praktických schopností absolventa:

samostatne projektuje a realizuje výučbu príslušných predmetov na úrovni nižšieho a vyššieho sekundárneho vzdelávania;

vie adaptovať vzdelávacie programy v príslušných disciplínach na konkrétne podmienky žiakov, školskej triedy a typu školy;

je schopný účelne podporovať rozvoj informačnej gramotnosti žiakov;

vie analyzovať a posudzovať alternatívne programy sekundárneho vzdelávania;

vie efektívne komunikovať pedagogické a odborové poznatky so širším prostredím laickej i profesnej komunity.

Doplňujúce vedomosti, schopnosti a zručnosti absolventa:

tvorba metodických textov so širšou aplikovateľnosťou;

tvorba e-learningových aplikácií;

vedomosti o právnych, ekonomických a etických aspektoch práce vo svojej oblasti.